W latach 1956-1962 odbył studia filozoficzno-teologiczne w Metropolitalnym Wyższym Seminarium Duchownym w Warszawie. Święceń kapłańskich w archikatedrze św. Jana Chrzciciela udzielił mu prymas Polski, kard. Stefan Wyszyński. Przez blisko 30 lat pracował jako wikariusz w parafiach (Krośniewice, Legionowo, Warszawa), później jako proboszcz (Gołąbki, Łowicz).

Po ukończeniu kursu muzycznego w Instytucie Musica Sacra w Aninie, w latach 1967–1970 w Akademii Teologii Katolickiej odbył studia muzykologiczne pod kierunkiem śp. ks. prof. dr. hab. Jerzego Pikulika. Ukończył je jako pierwszy absolwent nowej wówczas specjalności Muzykologia Kościelna na Wydziale Teologicznym.
26 maja 1990 Jan Paweł II mianował go biskupem pomocniczym warszawskim (1990-1992), następnie, biskupem pomocniczym łowickim. Tę funkcję pełnił do czasu przejścia na emeryturę w 2013.
Ks. bp J. Zawitkowski znany był z homilii („Kochani moi!”), które w latach 1980-2006 wygłaszał w kościele Św. Krzyża w  Warszawie, transmitowanych w I programie Polskiego Radia. Pod pseudonimem ks. Tymoteusz opublikował modlitewniki: Panie mój! i Tobie, Panie, zaufałem, książki: … będę z Panem gadałTrzymaj się!To jest Ktoś! Ponadto, w jego dorobku znajdują się teksty pieśni, hymnów i in. form muzycznych, do których muzykę skomponował ks. Wiesław Kądziela. Wśród nich szeroko znane i często wykonywane: Panie dobry jak chleb (skomponowana na II Krajowy Kongres Eucharystyczny 1987) oraz Abyśmy byli jedno. Ks. bp. J. Zawitkowski jest również kompozytorem niewielkich form muzycznych na zespoły wokalne.
Zmarł 29 października 2020 roku.
Requiem aeternam dona ei Domine, et lux perpetua luceat ei.